Thèse Année : 2025

Cartan geometry, characteristic classes, Lie algebroids: Applications to gravity and the BRST formalism

Géométrie de Cartan, classes caractéristiques, algébroïdes de Lie : applications à la gravitation et au formalisme BRST

Jean Thibaut
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  • PersonId : 1623377

Résumé

Gauge theories, in the mathematical guise of connections on fiber bundles appear at first glance to be a satisfying formalism to describe the physical fundamental interactions that we know of today. Be it Yang-Mills (YM) theories and their Ehresmann connections for the electro-weak and strong interactions of the standard model of particle physics or Cartan geometry and its Cartan connection for gravitation. The first part of this thesis will be devoted to study a specific type of gravitational theories arising from an action principle built exclusively via characteristic numbers and invariant polynomials of a manifold with a Cartan geometry. The part of the action consisting of characteristic numbers is automatically invariant under the choice of connection up to the integral of an exact term that lives on the boundary of the aforementionned manifold. We will show that under specific conditions the total action becomes topological, rendering the action completely invariant for manifolds without boundary. Two examples of geometry are studied in the presence of Lorentzian and conformal Cartan geometries. Specific cases lead to the classical equations of motion associated to General Relativity (GR)/MacDowell-Mansouri (MM) gravity and Loop Quantum Gravity (LQG). In the presence of matter (Dirac action), adding an interaction term between torsion and dilations in the conformal case yields an additional source for curvature in what would otherwise be Einstein’s equations modified by the LQG related terms. This additional source depends on the spin density of matter and on torsion. We also show that a generalization of the previous theory originating from considering spacetime dependant structure fields instead of structure constants in the Lie algebra makes us go from a theory with cosmological and Newton constants to corresponding fields depending (on shell) on a scalar of the curvature and the matter content of the theory. A specific case can be identified with a Ricci dark energy model with a gravitation coupling inversely proportional to the Ricci scalar, thus leading to a decoupling of matter and curvature in the limit where the Ricci diverges. Another subsection explores the consequences of replacing the usual Lie group of the Lorentzian Cartan geometry example to a similar object that sports non abelian translations (and thus non abelian vielbeins/tetrad/frames) leading to new terms mixing spacetime curvature and torsion. The second part of the thesis aims to study a generalization of Cartan geometry that builds upon the usual formalism of fiber bundles by using Lie algebroids. The formalism exhibits what we call generalized Cartan connections that reduce to ordinary Cartan connections under specific conditions. We show that a YM inspired action then yields a gravitational theory with additional fields of algebraic origin (hidden in the generalized connection) describing in specific settings a Higgs field and its potential with gravitational and matter couplings as well as the ghosts with corresponding ghost action of the BRST formalism. In particular cases we show this notion of generalized Cartan geometry allows to retrieve ghost free massive gravity [de Rham et al., 2011; de Rham, 2014]. The last part of this section provides a generalization which takes into account the diffeomorphism ghosts of the BRSTξ [François et al., 2015; Baulieu and Bellon, 1986] formalism.

Les théories de jauge associées aux objets mathématiques que sont les fibrés, semblent de prime abord correctement décrire les théories fondamentales de la physique que nous connaissons aujourd’hui. Que ce soient les théories de type Yang-Mills (YM) et leurs connexions d’Ehresmann concernant les interactions éléctro-faible et forte du Modèle Standard de la Physique des Particules (MSPP) ou la géométrie de Cartan et sa connexion de Cartan pour décrire la formulation de premier ordre de la Relativité Générale (RG) et de théories de la gravitation. La première partie de thèse étudie des théories de la gravitation construites à partir de nombres caractéristiques et polynômes invariants sur une variété décrite par une géométrie de Cartan. Nous montrons que dans certains cas la théorie devient entièrement topologique. Dans les deux exemples traités (géométrie Lorentzienne et de Möbius/conforme) c’est en particulier le cas lorsque la contribution de l’action de jauge à l’énergie noire/constante cosmologique est nulle. De manière générale, nous retrouvons une classe de théories décrivant la RG, la gravité type MacDowell-Mansouri et l’action de la gravité quantique à boucles suivant les valeurs des paramètres considérés. Dans le cas Möbius/conforme en présence de matière (donnée par l’action de Dirac), ajouter un terme d’interaction entre la torsion et les dilatations mène à une seconde source de courbure, dans ce qui correspondrait autrement aux équations d’Einstein modifiées par les termes caractéristiques de la gravité quantique à boucles (cette source additionelle étant dépendante de la densité de spin de la matière et de la torsion). Nous étudions aussi une généralisation du modèle précédent, dans laquelle la géométrie de Cartan est cette fois décrite localement par une algèbre de Lie dont les "constantes" de structure sont des champs dépendant du point de la variété. Ce changement revient à passer d’une théorie avec constante cosmologique et couplage gravitationnel donné par la constante de Newton, à une théorie décrite par une composante dynamique d’énergie noire et un couplage gravitationnel dépendants du point de la variété. Le principe de moindre action dicte ensuite la géométrie locale et permet d’exprimer ces quantités comme des scalaires dépendant de la courbure ainsi que des champs de matière. Un cas particulier mène à un modèle d’énergie noire du type scalaire de Ricci R avec un couplage gravitationnel inversement proportionnel à R, menant à un découplage de la matière et de la courbure dans le cas d’un R divergent. La dernière sous-section de cette première partie considère des repères/vielbein non abéliens, ce qui amène à l’introduction de termes mêlant torsion et courbure de l’espace-temps dans l’action. La seconde partie de la thèse étudie la généralisation de la géométrie de Cartan au formalisme des théories de jauges sur algébroïdes. Les principaux résultats étant la description d’une gravité avec boson de jauge massif (via un champ de Higgs introduit naturellement, comprenant son potentiel et ses interactions de Yukawa avec la matière). Dans un cas particulier, l’on retrouve les termes caractéristiques de "ghost-free massive gravity" [de Rham et al., 2011; de Rham, 2014]. Le formalisme mène aussi naturellement à retrouver l’action des fantômes du groupe de jauge et des difféomorphismes, propre au formalisme BRSTξ [François et al., 2015; Baulieu and Bellon, 1986]. Au minimum du potentiel de Higgs un choix particulier permet même de retrouver la jauge R_\xi.

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Citer

Jean Thibaut. Cartan geometry, characteristic classes, Lie algebroids: Applications to gravity and the BRST formalism. Mathematical Physics [math-ph]. Aix-Marseille Université, 2025. English. ⟨NNT : 2025AIXM0001⟩. ⟨tel-05434467⟩
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